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楼层扔鸡蛋问题

2012年8月31日  5,191 views 发表评论 阅读评论

本文最早是从csdn上一篇文章看到,后找到LTang转载的一篇文章。原文已失效,无法找到。

楼层扔鸡蛋的经典问题,找的可行解是很简单的,至于最优解以及m层楼n个鸡蛋的扩展则稍费脑力,此文仅转载原文,个人心得及代码实现以及动态规划问题后续会有新文章总结。

转载文章如下:

==有限层数和蛋数,求即使最坏情况下需要的最少判断次数==
两个软硬程度一样但未知的鸡蛋,它们有可能都在一楼就摔碎,也可能从一百层楼摔下来没事。有座100层的建筑,要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。(参见[两个鸡蛋--一道Google面试题])
这是典型的动态规划问题。假设f[n]表示从n层楼找到摔鸡蛋不碎安全位置的最少判断次数。假设第一个鸡蛋第一次从第i层扔下,如果碎了,就剩一个鸡蛋,为确定下面楼层中的安全位置,必须从第一层挨着试,还需要i-1次;如果不碎的话,上面还有n-i层,剩下两个鸡蛋,还需要f[n-i]次(子问题,实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的)。因此,最坏情况下还需要判断max(i-1,f[n-i])次。

状态转移方程:f[n] = min{ 1+max(i-1,f[n-i]) | i=1..n }
初始条件: f[0]=0(或f[1]=1)

实际上,两个鸡蛋的情况用数学方程就可以解决,前提是你知道该怎么扔:

一种想法是第一个鸡蛋折半搜索,如100层的楼,先从50层扔下去,如果碎了则第二个鸡蛋在1~49层楼中自底向上线性搜索;如果没碎则第一个鸡蛋再从75层扔。如果这次碎了则第二个鸡蛋在51~74层楼中自底向上线性搜索;如果还没碎则第一个鸡蛋再从88层扔,依此类推。这种方法不是最优,因为最坏情况下安全位置恰好是49层,需要尝试50次。
正确的方法是先假设最少判断次数为x,则第一个鸡蛋第一次从第x层扔(不管碎没碎,还有x-1次尝试机会)。如果碎了,则第二个鸡蛋在1~x-1层中线性搜索,最多x-1次;如果没碎,则第一个鸡蛋第二次从x+(x-1)层扔(现在还剩x-2次尝试机会)。如果这次碎了,则第二个鸡蛋在x+1~x+(x-1)-1层中线性搜索,最多x-2次;如果还没碎第一个鸡蛋再从x+(x-1)+(x-2)层扔,依此类推。x次尝试所能确定的最高楼层数为x+(x-1)+(x-2)+…+1=x(x+1)/2。
比如100层的楼,只要让x(x+1)/2>=100,得x>=14,最少判断14次。具体地说,100层的楼,第一次从14层开始扔。碎了好说,从第1层开始试。不碎的话还有13次机会,再从14+13=27层开始扔。依此类推,各次尝试的楼层依次为

14
27 = 14 + 13
39 = 27 + 12

99 = 95 + 4
100

现在推广成n层楼,m个鸡蛋:

还是动态规划。假设f[n,m]表示n层楼、m个鸡蛋时找到摔鸡蛋不碎的最少判断次数。则一个鸡蛋从第i层扔下,如果碎了,还剩m-1个鸡蛋,为确定下面楼层中的安全位置,还需要f[i-1,m-1]次(子问题);不碎的话,上面还有n-i层,还需要f[n-i,m]次(子问题,实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的)。

状态转移方程:f[n,m] = min{ 1+max(f[i-1,m-1], f[n-i,m]) | i=1..n }
初始条件:f[i,0]=0(或f[i,1]=i),对所有i


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